Πιθαντητες
σε πειρους δειγματχωρους
Περληψη
Η αντληψη για το διο το μαθηματικ πειρο γνεται περισστερο κατανοητ μσω της προσγγισης κποιων απλν ερωτημτων μσω της Θεωρας Πιθανοττων. Στην δια προσγγιση, γνεται κατανοητ η ννοια της κατανομς απειροσυνλων σε απειροσνολα, ετε εναι αριθμσιμα υπεραριθμσιμα.
Εισαγωγ
Με βασικ εργαλεα τον ορισμ της πιθαντητας και την ννοια του ορου πως και με λγα πορσματα της Θεωρας Μτρου, μπορον να γνουν πιο κατανοητς οι ννοιες του απερου, της αριθμησιμτητας της υπεραριθμησιμτητας πως και της κατανομς διορων γνωστν υποσυνλων του σε διορα υποσνολ του. Το πλον γνιμο μαθησιακ, εναι η σγκρουσης της πεπερασμνης σης του ανθρπου με την κατανηση του απερου. Ναι μεν τα δια τα Μαθηματικ αναπτσσονται με διαδικασες ααρεσης της σης αλλ ιδως για το πειρο, χομε απ την δια την ση του το σχμα: . χουμε λοιπν, μια διαρκ σγκρουση αενς των νοητικν δομν, των «ενσματων Μαθηματικν» της ανθρπινης γλσσας, των ιδιαιτεροττων του ανθρπινου σματος και μυαλο και αετρου των μαθηματικν αξιωμτων, που δεν μπορον να δσουν εξηγσεις για την ση του αριθμσιμου υπεραριθμσιμου απερου και την ση του πραγματικο πειρου. (Πατρας, Ι. 2016)
Στα παρακτω παραδεγματα χουμε δειγματικος χρους αριθμησμως πειρους (διακριτος) ετε μη αριθμσιμους(συνεχες) και θεωρομε την πιθαντητα ετε κατ Von Mises ετε κατ την κλασικ αξιωματικ θεμελωση της ννοιας. (Χαραλαμπδης, Χ. 2003)
Παρδειγμα 1
Το ερος παρατηρσεων των υψν μαθητν μιας τξης Γυμνασου με μονδα το 1m, εναι στο διστημα λ.χ. [ 1.60 , 1.70] Ποα η πιθαντητα να χει μαθητς ψος 1,65; Εκε ο μαθητς απαντ και χουμε
την πρτη
μας επα
τι
μη κεν
ενδεχμενο
δειγματικο
χρου
μπορε
να χει
μηδενικ
πιθαντητα.
Και μλιστα
ανεξαρττως
παραδοχς
κατανομς
λ.χ. ομοιμορης
που
ενυπρχει
η ννοια
του «ισοπθανου»
ετε
κανονικς
λλης.
Το αποτλεσμα
γνεται
πιο ενδιαρον
αν σκεθομε
τι
ακμα
και να απαιτσουμε
το αποτλεσμα
να εναι
λ.χ. «μα
απ
τις παρακτω
1.000 διαορετικς
τιμς
υψν
που εμπεριχονται
στο [1.60,1.70]», πλι
χουμε
το σχμα
. Αν αναλογιστομε το «ποα
η πιθαντητα
νας
μαθητς
να χει
ρητ
ψος»,
υπολογζουμε
σμωνα
με την θεωρα
του μτρου
μετρσιμων
συνλων
κατ
Lebesgue
τον
λγο
(Κολουντζκης,
Μ.2010) ,(Πλατρος,
Ι. 2018) Αν το επεκτενουμε κι λλο
ενσωματνοντας
και τους αλγεβρικος
αρρτους
που υπρχουν
στο διστημα
υψν,
επειδ
κι αυτο
εναι
αριθμσιμοι
και η νωση
αριθμησμων
χει
μτρο
Lebesgue
το
0, πλι
χουμε
πιθαντητα
μηδν.
Τελικ, το «ββαιο
γεγονς»
με πιθαντητας
1, εναι
η πιθαντητα
εξαγωγς
υπερβατικο
αριθμο
(Πλατρος,
Ι. 2018)
Ενδιαρον
χει
και να θεωρσουμε
την ανλογη
κατασκευ
του συνλου
του Cantor στο σνολο
[1.60,1.70] που εναι υπεραριθμσιμο
μεν, αλλ
αυτ
χει
μτρο
μηδν
οπτε
χουμε
πλι
πιθαντητα
μηδν,
οπτε
η πιθαντητα
εξαγωγς
απ
το διστημα
[1.60,1.70] ρητο
ετε
αρρτου
αλγεβρικο,
ετε
στοιχεου
του υπεραριθμσιμου
αντιστοχως
κατασκευαζμενου
συνλου
Cantor,
εναι
μηδν.
Παρδειγμα
2.
:
Εκτελντας
το νοητ
περαμα εξαγωγς
ενς
τυχαου
στοιχεου του ,
ποα η πιθαντητα
εξαγωγς
ενς
ρτιου
υσικο;
Εδ
αμσως
και σωστ,
η διασθηση
μας λει
. Στην γενικ
του περπτωση,
ανταζμαστε
αυτ
να υπολογζεται
αο
θεωρσουμε
ναν
υσικ
αριθμ
ν, πειτα
την συνρτηση
π(ν) που μας δνει
το πσοι υσικο
αριθμο
μχρι
το ν χουν
την ιδιτητα
π (εδ
πσοι
ρτιοι
υπρχουν
μχρι
το ν) , ε
σον
μπορομε
να την υπολογσουμε
κθε
ορ
και στην συνχεια
υπολογζουμε
το Για την περπτωση
της εξαγωγς
ρτιου
υσικο
γνωρζουμε
τι
π(ν)= που
[ ] : συνρτηση
«ακραιο
μρος»
τσι
χουμε
:
(1) Επσης
χουμε
και
(2)
Απ
(1) & (2) χουμε
Με
εντελς
ανλογο
τρπο
γενικεεται
η προσγγιση
για την ερεση
της πιθαντητας
εξαγωγς
πολλαπλασου
του υσικο
αριθμο
κ, ως .
λα
τα παραπνω
αντζουν
ελογα,
καθς
κνουμε
μια γενκευση
σε κτι
που διαισθανμαστε
απολτως
ββαιο
σε κθε
πεπερασμνο
απκομμα
του με την υσικ
διταξη
αρθμησης
. Εδ
μως
χουμε
αντιπαρδειγμα:
Αναδιατσσω
το και επανατοποθετ
τα στοιχεα
του με τον εξς
τρπο:
«Οι 100 πρτοι
διαδοχικο
ρτιοι
και 1 πρτος
περιττς.
Οι 100 επμενοι
διαδοχικο
ρτιοι
και ο επμενος
περιττς
κ.ο.κ. επ
πειρον.
Το σνολο
αυτ
προανς
εναι
το ,
αο
περιχει
εκ κατασκευς
λα
τα στοιχεα
του και μνον
αυτ.
Σε κθε
πεπερασμνο
απκομμα
αυτς
της αναδιταξης,
προανς
κατ
τα προηγομενα
και εκ κατασκευς,
θα χω
πιθαντητα
εξαγωγς
αρτου
περπου
. Και αν θεωρσω
το ριο
αυτς
της αναδιταξης,
θα βρω ακριβς
.
Προανς
αυτ
το παρδοξο
δεν ισχει
στα πεπερασμνα
σνολα,
αο
οποιαδποτε
αναδιταξη-ανακατανομ
του συνλου
διατηρε
και το σνολο
τις «ευνοκς
περιπτσεις»
Στο απειροσνολο,
με την αναδιταξη,
διατηρεται
και το σνολο
και οι ευνοκς
περιπτσεις,
μνο
που κποιες
ορς
«μπορε
να χνονται
στο πειρο»,
αο
η εκστοτε
εμαινμενη
κατανομ
διατηρεται
επ
πειρον
. πως διαανεται
απ
τον τρπο
κατασκευς
του ειδικο
αντιπαραδεγματος,
μπορομε
να παραθσουμε
και γενικ
αντιπαραδεγματα,
δηλ. να βρομε
διατξεις
«σες
θλουμε»
που
η εκστοτε
υπολογιζμενη
πιθαντητα
να εναι
οποιοσδποτε
ρητς
μεταξ
0 και 1. Η ανταση
που διαπιστνεται
στην απατηση
μοναδικς
τιμς
για το διο
ενδεχμενο,
αρεται
με την θερηση
πεπερασμνων
συνλων
«οσοδποτε
μεγλου
πληθικο
αριθμο»
, που
εκε
ισχει
το ποιο
συμπρασμα
«για κθε
ν οσοδποτε
μεγλο»
Δηλαδ,
ουσιαστικ
αυτ
αρεται
αν θεωρσουμε
το πειρο
χι
ως «ολοκληρωμνο
πειρο»
χι
ως «ενεστωτικ
πειρο»
χι
«ως ολοκληρωμνο
μαθηματικ
αντικεμενο»,
δηλ. «εν ενεργεα»
αλλ
ως -κατ
Αριστοτλην-
«εν δυνμει»
το «πραγματικ
πειρο»
πως
λγεται
και νοεται
και θεωρε
ο Αριστοτλης.
Σμωνα
με την θερηση
του Αριστοτλη,
το σημανει,
τι
κποιος
μπορε
να γρει
ρους
επ
πειρο,
χωρς
να υπρχει
να
πρας.
Το πειρο
των συνλων
εξετζεται
«εσωτερικ»
Το κατ
Αριστοτλην
εναι
«δυνμει»
πειρο.
(Μπαντς,Γ.
2002)
Πρπει
ακμα
να παρατηρσουμε,
τι
οι «λακς
διαμχες»
για τις δο
οπτικς
του απερου
εναι
πανρχαιες,
συνεχζονται και σμερα
(λ.χ. ο αριθμς
0,999…. Ισοται
ακριβς
με 1 «δεν τνει
ποτ
το1 ;) Επιπτσεις
υπρχουν
και στην θερηση
λ.χ. του ορου
ως μια διαδικασα
διαρκος
προσγγισης
του μηδενς
χωρς
μως
να «το θνουμε»,
πργμα
που αποτελε
και να
σγχρονο
σοβαρ
γνωστικ
(επιστημολογικ)
εμπδιο
για λες
τις βαθμδες
εκπαδευσης
που διδσκονται
Απειροστικ
Λογισμ. Η
σημεριν
επσημη
ποψη
παραδχεται
το «εν ενεργεα»
πειρο
πως
εισχθη
επ
Cantor
(Μπαντς,Γ.
2002) εν
η ανταση
με τα αντιπαραδεγματα
επ
απειροσυνλων,
που αναδεικνεται
στο παρν
παρδειγμα,
«αρεται»
με την καλς
ορισμνη ννοια
«Πυκντητα
στους Φυσικος
Αριθμος»(
natural density asymptotic density arithmetic density) η οποα
σχεδν
ταυτζεται
με την ννοια
της πιθαντητας
πως
την αναμνουμε
και κοινς
την εννοομε,
για κποια
υποσνολα
του ,
νοομενη
μνο
σε ολικ
διταξη, ταν
ορζεται,
και ταν
υπρχει το ριο. , που
Α(ν) , η ιδιτητα
Α. Ισχει
λ.χ. (Βικιπαδεια
2020) . Στα παρακτω,
ταν
ομιλομε
για «πιθαντητα
στο » εννοομε
την «ειδικ
συνθκη
πιθαντητας»
δηλ. την «Πυκντητα
στους Φυσικος»,
d,
που
ισχουν
λα
τα αξιματα της πιθαντητας,
εκτς
απ
το μοντιμον
της πιθαντητας,
σε αναδιταξη
του απειροσυνλου
και η οποα
μως,
διατηρε
την συνχεια μετβασης
απ
το οσοδποτε
μεγλο,
στο πειρο,
νοομενο
μνο
εν δυνμει,
χωρς
δηλ. να χρειαστε
να διαχειριστομε
το «Ξενοδοχεον
το πειρον»
του Hilbert
(Dekofsky,J 2020)
Παρδειγμα
3
Θεωρντας
πλι
το περαμα
του παραδεγματος
2, ποα
η πιθαντητα
εξαγωγς
τελεου
τετραγνου;
Σμωνα
με τα προηγομενα
πρπει
να βρομε
την πλι
την να
π(ν) η οποα
αυτ
την ορ
θα μας δνει
τον αριθμ
των τελεων
τετραγνων
μχρι
το ν.
Προανς
που
σμωνα
με τις ιδιτητες
της συνρτησης
«ακραιο
μρος» χουμε
που
με διαρεση
με το ν και λψη
ορων,
χω
ρα
η ζητομενη
πιθαντητα
εναι
0 .
Ομοως
γενικεουμε
για τλειους
κβους,
τταρτες
δυνμεις
κ.ο.κ. εργαζμενοι
ανλογα
και θεωρντας
ως .
Παρδειγμα
4
Θεωρομε
κι αυτ
την ορ
το διο
περαμα και αναζητομε την πιθαντητα
εξαγωγς
πρτου
αριθμο.
Εδ
χουμε
να
εκ πρτης
ψεως
αξεπραστο
πρβλημα
αο
μας εναι
ακμη
γνωστη
η ακριβς
κατανομ
των απερων
πρτων
που υπρχουν.
Δεν γνωρζουμε
κποιο
ακριβ
αλγεβρικ
τπο
για το π(ν). Γνωρζουμε
μως
να
μνημειδες
αποτλεσμα
της Θεωρας
Αριθμν
«Θερημα
των Πρτων
Αριθμν»)
που
σμωνα
με μια διατπωση
του οποου
ισχει
Συνεπς
για την ερεση
του σχετικο
ορου
χω
, , (Λαρετζκη,
Ε.2012) και (Βικιπαδεια
2020)
Παρδειγμα
5
Αν
επιλξουμε
τυχαα
να
στοιχεο
του , ποα
η πιθαντητα
στο δεκαδικ
σστημα
αρθμησης
να μπορε
να γραε
ως δεκαδικς
τερματιζμενος;
Κθε
στοιχεο
του γρεται
στην μορ
και μλιστα με μοναδικ
τρπο
αν επ
πλον
απαιτσουμε
(μ,ν)=1. Για να περατοται
η Ευκλεδεια
διαρεση
μ:ν πρπει
ο διαιρτης,
το ν, να εναι
εκτς
της τετριμμνης
περπτωσης
1, δναμη
του 2 δναμη
του 5 δναμη
του 2 και του 5. Το σχμα
που οδηγε
σε αυτ
το συμπρασμα
εναι
τι
χουμε
να
σχμα
διαρεσης
(*) που
τα μπορε
να εναι
οποιοδποτε
υσικο. Στην περπτωση
που η διαρεση
εναι
περατομενη,
αο
η (*) γνεται
οπτε
στον ακραιο
ν, μεταρουμε
την νοομενη
υποδιαστολ
θσεις
αριστερ.
Αν θεωρσουμε
,
ττε
η (*) γνεται
,
οπτε
στον ακραιο
αριθμητ
χωρζουμε
θσεις
αριστερ. Ομοως
και ταν
πολλαπλασιζουμε
αριθμητ
και παρονομαστ
με και καταλγουμε
σε ανλογο
συμπρασμα.
Αντιστρως,
αν προυμε
οποιονδποτε
περατομενο
(δηλ. μη περιοδικ
με περοδο
διορη
του 9) αυτς
γρεται
αμσως
ως πηλκο υσικν
αν ως αριθμητ
θεωρσουμε
τον δεκαδικ
χωρς
κμμα
και παρονομαστ
το 10ν που
ν ο ακραιος
αριθμς
των ψηων
του, μετ
την υποδιαστολ.
Ο παρονομαστς
εναι
της μορς
2ν5ν, που
και μετ
τις ενδεχμενες
απλοποισεις
τθεται
στην γενικ
μορ
(*)
Εδ
γνεται
ανερ
τι
στην αναζτηση
της πιθαντητας
χουμε
ως τελικ
σχμα
το , με το δεδομνο
τι
κτι
ισχει
συνδυαστικ
για δο
μνο
πρτους
το 2 και το 5, εν
οι πρτοι
απ
την εποχ
του Ευκλεδη
εναι
γνωστ
τι
εναι
πειροι.
Παρδειγμα
6
Απ
το παρδειγμα
2, χουμε,
τι
η πιθαντητα
εξαγωγς
αρτου
απ
το εναι
επομνως
και για το συμπληρωματικ
ενδεχμενο
εξαγωγς
αρτου,
χουμε
πλι
πιθαντητα
. Αν θεωρσω
το νο
περαμα
τχης
«εξγω
απ
το με επανθεση
υσικος,
ως
του
υπρξει
εξαγωγ
αρτου,
οπτε
το περαμα
σταματ»
Αν ως δειγματχωρο
θεωρσω
το πσες
ορς
θα κνω
εξαγωγ
ως
του
εξαχθε
ρτιος
αυτς
θα εναι
Δ= =Ω= ={1,2,3,4,5…} με πιθαντητες
για λα
τα στοιχειδη
ενδεχμενα
Ισχει
κατ
τα γνωστ
της αξιωματικς
θεμελωσης
του ορισμο
p(Ω)
= . Αν αναζητσω
την πιθαντητα
εξαγωγς
αρτου
μετ
απ
10 εξαγωγς
θα χω
p(10)= Η δια
πιθαντητα
για μετ
απ
1.000 εξαγωγς
η δημσια
μηχαν WolframAlpha υπολογισμν
και χι
μνο,
δνει
να
κλσμα
με 605-ψιους
ρους,
που διαρουν
κατ
μονδα
στο τελευταο
ψηο
του.
Η
εισαγωγ
των δεδομνων
στην υπερμηχαν
υπολογισμο,
δεν γνεται
κατανγκην
με προγραμματιστικς
εντολς,
αλλ
και με συμβατικ
μαθηματικ
τρπο
αναπαρστασης.
(WolframAlpha computational intelligence. 2020)
Η
πιθαντητα
εξαγωγς
αρτου
μεταπ ρτιο
αριθμ
αριθμ
προσπαθειν,
εναι
η
Οπτε
και η πιθαντητα
του συμπληρωματικο
ενδεχομνου
εξαγωγς
αρτου
μετ
απ
περιττ
αριθμ
προσπαθειν
θα εναι
. Η διαορ
στις πιθαντητες, οελεται
τι
η εξαγωγ
αρτου
την πρτη
ορ
(περιττ)
εναι
πολ
μεγαλτερη
(διπλσια
και υπερδιπλσια)
απ λες
τις υπλοιπες.
ξιο
προσοχς
επσης
εναι
τι
δεν χει
σημασα
αν η εξαγωγ
γνεται
με επανθεση
χωρς
επανθεση,
κτι
πολ
ουσιδες
σημαντικ για την τιμ
της πιθαντητας
σε πεπερασμνους
δειγματχωρους. Η απδειξη
αυτς
της ανεξαρτησας
του τρπου
εξαγωγς
γκειται
στον διο
τον τρπο
του υπολογισμο
της πιθαντητας.
Η πιθαντητα
προκπτει
ως Μετ
απ
οσεσδποτε
κ εξαγωγς
περιττο
πριν εξαχθε
ρτιος,
ο υπολογισμς
της πιθαντητας
παρνει
την μορ
οπτε
δεν χουμε
μεταβολ
της τιμς.
Συμπερσματα
Α) Παρουσιστηκε,
τι
αν απ
το ααιρσουμε
οσοδποτε
πεπερασμνο
πλθος
περιττν,
η πιθαντητα
εξαγωγς
αρτου
δεν αλλξει
καθλου
και εξακολουθε
να εναι
σταθερ
(Παρδειγμα
6)
Β)
Σε κθε
χρο
πιθανοττων
ισχει
πντα
(3) μως
δεν ισχει
η αντστροη
πρταση.
Στο παρδειγμα1,
χουμε
υποπαραδεγματα,
με σνολα·
πεπερασμνο,
πειρο
αριθμσιμο
και υπεραριθμσιμο,
που εναι
λα
αντιπαραδεγματα
στην καθολικ
ισχ
της αντστροης
πρτασης
(3) Επσης
ισχει
η πρταση
(4) Στο παρδειγμα
1 χουμε
ουσιαστικ
ειδικ
οριακ
επαλθευση
της (4) μσω
του πως
και το τπου
Cantor
σνολο
στο [1.60,1.70] αο
κατασκευζεται
σε αυτ,
πως
και στο [0,1] που
κι αυτ
χει
μτρο
πιθαντητας
το 0, στον δειγματχωρο
[1.60,1.70], παρ
τι εναι
υπεραριθμσιμο.
Γ)
Αν υπρξει
μια σκψη
απδοσης
τιμν
πιθαντητας
στα στοιχειδη
ενδεχμενα,
υπεραριθμσιμα
μονοσνολα του [1.60,1.70] σο
μικρς
θετικς
και να εναι
αυτς,
οσοδποτε
κοντ
στο 0, αν δεχθομε
ως ε>0 την μικρτερη
τιμ
πιθαντητας
απ
λες,
ττε
υπρχει
αρκοντως
μεγλο,
τσι
στε
, τοπο,
διτι
το θροισμα
λων
των στοιχειωδν
ενδεχομνων
σε κθε
δειγματχωρο,
πρπει
να εναι
1 και αυτ
εναι
καταριθμν,
χι
απλς
αριθμσιμα,
αλλ
υπεραριθμσιμα.
Το προηγομενο
επιχερημα,
εναι
το αξωμα
των Αρχιμδους
-Ευδξου
και δεν μπορε
να παραβλεθε
στην Συμβατικ
Ανλυση
που δεχμαστε
στην Πιθανοθεωρα.
(To
αξωμα
των Α-Ε δεν ισχει
στην «Μη Συμβατικ
Ανλυση»
-Νon
Standard
Analysis)
Δ)
Στο παρδειγμα
1, η πιθαντητα
εξαγωγς
ασυμμτρου
αριθμο,
εναι
1 αο
η πιθαντητα
του συμπληρωματικο
ενδεχομνου
(ρητς
ετε
αλγεβρικς)
εναι
0 . Η βιβλιογραα
αυτ
το αινμενο
το εντσσει
σε ναν
πιο ευρ
ορισμ
του τπου
:
Ορισμς:
«να
ενδεχμενο
λγεται
σχεδν
σγουρο,
αν . Λγεται
σχεδν
αδνατο
αν .
Λμε
τι
να
ενδεχμενο
συμβανει
σχεδν
σγουρα,
αν συμβανει
με πιθαντητα
1.» (Κολουντζτκης,
Μ.2006) Μια
κριτικ
παρατρηση
για το «σχεδν»
που μπορε
να γνει,
εναι
τι
οι τιμς
0 και 1 εξγονται
ως ακριβες
και σημειακς,
και χι
με οποιαδποτε
προσγγιση.
Ε)
Οι πειροι
δειγματχωροι,
εξ ορισμο
αποκλεουν
οποιουδποτε
εδους
«πειραματικ
επαλθευση»
στατιστικ
προσγγιση.
Μνο
στοχαστικ
και μνο
με θεωρητικ
μαθηματικ
εργαλεα
και μοντλα
τους μελετομε.
Μπορομε
να εκτυπσουμε
να
ανττυπο
της Καινς
διαθκης
σε μονοσλιδα,
στην συνχεια
να αποκψουμε
λα
τα γρμματα
να
προς να
, να τα ανακατσουμε,
να τα ρξουμε
στον αρα,
λα
αυτ
να καθσουν
με την ψη
προς τα πνω,
μετ
να τα βλουμε
σε μια σειρ
και να βγει το διο
το κεμενο,
με τον επ
πλον
περιορισμ,
το διο
γρμμα,
να βγει στην δια
θση
που ταν
αρχικ. Σε
μια ηλεκτρονικ
διεθυνση
βρκαμε
το κεμενο
και με την βοθεια
του επεξεργαστ
κειμνου,
βρκαμε
πως χει
«878.220 χαρακτρες, με κεν» Επομνως
η πιθαντητα
επανασνθεσης
του κειμνου
σε να
ττοιο
περαμα
πιθαντητας,
εναι:
(WolframAlpha computational intelligence.
2020) Αυτ
θα εθεωρετο
ως θαμα,
αλλ
πντα
υπρχει
πιθαντητα
να συμβε!
Επλογος
Οι
πειροι
δειγματχωροι
βζουν
το πειρο
απ
την πρτα
της πιθανοθεωρας
που
εκε
βγανουν
και τα «παρδοξ»
του. Βζουμε
τα εισαγωγικ
για να τονσουμε
την μη εκολη
αποδοχ
τους απ
τον πεπερασμνο
μας νου που θεωρε
τι
μπορε
με μαθηματικ
ααρεση
και μαθηματικ
γενκευση,
να κατανοσει
την ση
του απερου
και του απειροστο.
Σε κθε
περπτωση
μως,
η αλλαγ
πλαισου
και αναπαρστασης,
βοηθ
πολ.
Αναορς
Πατρας, Ι. (2016) «Γνωσιακ προσγγιση στα Μαθηματικ, η περπτωση του Απερου», Μαθηματικ Επιθερηση (τεχος 81
-82)
Χαραλαμπδης, Χ. (2003) «Σημεισεις Πιθανοττων και Στατιστικς» (σελ. 2,13,14) Αθνα Διατθεται σε (https://eclass.uop.gr/modules/document/file.php/TST244/ProbabilityandStatistics.pdf πρσβαση 11/8/2019 )
Κολουντζκης, Μ.(2010) «Μτρο και Ολοκλρωμα Lebesgue, Εγχειρδιο Χρσης» , Ηρκλειο (διατθεται σε http://eigen-space.org/mk/harmonic1011/lebesgue.pdf , πρσβαση 11/8/2019)
Πλατρος, Ι. (2018) «Περ της δυναττητας μτρησης του μεγθους μκος “3m”» Πρακτικ 35ου Συνεδρου Ε.Μ.Ε. Μαροσι (Διατθεται σε https://www.academia.edu/37949139/103._Περ_της_δυναττητας_της_μετρσεως_του_μεγθους_μκος_3m_/ πρσβαση 11/8/2019
Μπαντς, Γ. (2002) «Θεμελιδεις ννοιες των Μαθηματικν» Σρρες (Απσπασμα «Το ενεργητικ πειρο και η θεωρα συνλων του Κντορ» διατθεται σε https://www.academia.edu/32363911/Το_ενεργητικ_πειρο_και_η_θεωρα_των_συνλων/
Βικιπαδεια (2020) «Natural Density» διατθεται σε https://en.wikipedia.org/wiki/Natural_density
Dekofsky,J (2020).«The Infinite Hotel» Βντεο. Διατθεται σε https://ed.ted.com/lessons/the-infinite-hotel-paradox-jeff-dekofsky
Λαρετζκη, Ε.(2012) «Οι πρτοι Αριθμο» Διπλωματικ Εργασα στο ΕΜΠ Αθνα (διατθεται σε http://www.math.ntua.gr/~sofia/dissertations/Larentzaki.pdf πρσβαση11/8/2019)
Βικιπαδεια (2020) «Θερημα Πρτων Αριθμν» Διατθεται σε https://el.wikipedia.org/wiki/Θερημα_πρτων_αριθμν/
WolframAlpha computational intelligence. (2020) Διατθεται σε https://www.wolframalpha.com/