Κυριακή, 27 Νοεμβρίου 2011

οδηγίες σύνταξης για το ΛΑΤΕΧ (Από το Φόρουμ του Μαθηματικού Τμήματος Αθηνών)

Το παρακάτω κείμενο αποτελεί μια απόπειρα καθοδήγησης στις μεθόδους γραφής μαθηματικών τύπων στο forum. Ο οδηγός αυτός σε καμία περίπτωση δεν αποτελεί πλήρες εγχειρίδιο \LaTeX, αλλά μια εισαγωγή στην νοοτροπία της (σε ό,τι αφορά τα μαθηματικά της πάντα!). Αν θέλετε να εμβαθύνετε, μπορείτε να μαθαίνετε από τον κώδικα που γράφουν οι συν-forumίτες σας, να ποστάρετε ερωτήσεις, ή ακόμα καλύτερα, να αρχίσετε να διαβάζετε κάποιο καλό LaTeX ebook.

Οι νεοφώτιστοι στη \LaTeX θα διαπιστώσετε πόσο εύκολα και γρήγορα μπορούμε να γράφουμε σύνθετα μαθηματικά σύμβολα.
Στους ήδη γνώστες, θα ήθελα να τονίσω για ακόμα μια φορά ότι το feature περιορίζεται στη συγγραφή μαθηματικών τύπων, και όχι πλήρων κειμένων \LaTeX. Με άλλα λόγια το χρησιμοποιείτε μόνο για ότι θα γράφατε άναμεσα στα "$$". Για το υπόλοιπο κείμενο, υπάρχουν οι γνωστές και μη εξαιρετέες λειτουργίες που παρέχει το forum :)

Ας μπούμε όμως στο ψητό...
Καταρχάς, ό,τι θέλουμε να μεταφραστεί σε \LaTeX, θα πρέπει να τοποθετείται ανάμεσα στα tags [tex] και [/tex]. Ας δούμε ένα απλό παράδειγμα:

To [tex]x^2 + y^2 = 3[/tex] θα μας δώσει x^2 + y^2 = 3.
Όπως θα καταλάβατε, το "^" υποδηλώνει ύψωση σε εκθέτη. Ας πούμε τώρα ότι θέλουμε να δώσουμε στις μεταβλητές μας και ένα δείκτη. Για το σκοπό αυτό χρησιμοποιούμε το underscore "_":
Το [tex]x_1^2 + x_2^2 = 1[/tex] θα μας δώσει x_1^2 + x_2^2 = 1
Όταν ο εκθέτης/δείκτης μας είναι κάπως πιο σύνθετος, θα πρέπει να δηλώσουμε ρητώς τα όρια αυτού με χρήση αγκυλών:
Πχ, το [tex]e^{i \pi} = -1[/tex] θα μας δώσει e^{i \pi} = -1

Γενικά, οι αγκύλες στη \LaTeX αποτελούν οριοθέτες των ορισμάτων που δέχονται οι εντολές της. (κάτι αντίστοιχο με τις παρανθέσεις που συναντάμε στις περισσότερες γλώσσες προγραμματισμού)

Για να γράψουμε ένα κλάσμα, χρησιμοποιούμε την εντολή \frac{αριθμητής}{παρονομαστής}:
Code:
[tex] \frac{1}{2^n} \rightarrow 0[/tex]

\frac{1}{2^n} \rightarrow 0.

Πάμε τώρα σε κάτι προχωρημένο: Ας πούμε ότι θέλουμε να γράψουμε ένα ολοκλήρωμα. Το σύμβολο του ολοκληρώματος τοποθετείται με την εντολή \int (integral). Ο προσδιορισμός των ορίων του είναι πολύ απλή υπόθεση: Το κάτω όριο είναι ο δείκτης του ολοκληρώματος, ενώ το πάνω είναι ο εκθέτης:
Code:
[tex] \int_a^b f(t) dt = 1 [/tex]
που μας δίνει \int_a^b f(t) dt = 1
Με τρόπο αντίστοιχο γράφονται τα αθροίσματα:
Code:
[tex] \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} = e [/tex]
που μας δίνει \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} = e.

Παρατηρήστε ότι μπορούμε πάντοτε να βλέπουμε τον κώδικα ενός μαθηματικού τύπου άμα περάσουμε τον κέρσορα του mouse πάνω από την αντίστοιχη εικόνα, κάτι ιδιαίτερα χρήσιμο:

Ας δούμε μερικά απλά παραδείγματα:
1 < 2
0 < x \leq 1 \Rightarrow x^{-1} \geq 1
A, B \subset X.
A \cup B = X.
A \cap B = \emptyset
x \in A  \Rightarrow x \notin B
X = \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n
(\alpha_n) \subseteq \mathbb{R}

\alpha_n \rightarrow \alpha \Leftrightarrow \forall \epsilon > 0, \exists n_0 \in \mathbb{N}: \forall n \geq n_0 \Rightarrow | \alpha_n - \alpha | < \epsilon

Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να παραστήσουμε τon τύπο της Ευκλείδειας νόρμας. Ο λογικός τρόπος θα ήταν γράψουμε τον τύπο ως εξής:
Code:
( \sum_{i=1}^n |x_i|^2 )^{1/2}

Μια τέτοια προσέγγιση θα μας δώσει ένα μάλλον άσχημο αποτέλεσμα: ( \sum_{i=1}^n |x_i|^2 )^{1/2}
Οι παρενθέσεις είναι πολύ πιο μικρές από το περιεχόμενό τους. Το πρόβλημα αυτό λύνεται άμα δηλώσουμε κάπως πιο "φανερά" τα όρια των παρενθέσεων. Αυτό επιτυγχάνεται με τη χρήση των εντολών \left και \right:
Code:
  \left(   \sum_{i=1}^n |x_i|^2  \right)  ^{1/2}

που μας δίνει ένα πολύ πιο όμορφο αποτέλεσμα: \left(   \sum_{i=1}^n |x_i|^2  \right)  ^{1/2}
Τα \left και \right είναι πολύ χρήσιμα στην παράσταση εσωτερικών γινομένων : Αν γράψουμε απλώς θα λάβουμε <x,y>, που μας φαίνεται κάπως περίεργο καθώς η \LaTeX μεταφράζει τα <,> ως ανισότητες. Ο σωστός τρόπος είναι να γράψουμε
Code:
\left< x, y \right>

που θα μας δώσει \left< x, y \right>

Ας πάμε τώρα σε κάτι πιο δύσκολο..
Έστω ότι θέλουμε να γράψουμε τον πίνακα \left( \begin{array}{c c c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)
Σας γράφω ευθύς αμέσως τον κώδικα:
Code:
\left(
\begin{array}{c c c}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}
\right)

  • Τα \left( και \right) δημιουργούν τις παρενθέσεις γύρω από τα στοιχεία του πίνακα κατά τον τρόπο που εξηγήσαμε προηγουμένως
  • Τα \begin{array} και \end{array} ορίζουν τη δημιουργία ενός πίνακα. Αυτός δεν είναι ένας πίνακας κατά την αυστηρή μαθηματική έννοια, αλλά αποτελεί μια γενικότερη δομή που συναντάται στις markup γλώσσες. Όσοι γνωρίζουν html θα καταλαβαίνουν τι εννοώ. Δεν απότελει ωστόσο στόχος του παρόντος άρθρου η εμβάθυνση στους πίνακες της \LaTeX.
  • Το όρισμα {c c c} εν ολίγοις υποδεικνύει το πλήθος των στηλών που θα έχει ο πίνακας. 3 c σημαίνει 3 στήλες. O χαρακτήρας "c" (center) υποδηλώνει την ευθυγράμιση των στοιχείων της συγκεκριμένης στήλης. Εναλλακτικές επιλογές αποτελούν τα "l" (left) και "r" (right)
  • Tέλος, στο εσωτερικό της εντολής γίνεται η εισαγωγή των στοιχείων του πίνακα. Τα στοιχεία διαχωρίζονται με τη χρήση του "&" ενώ με το "\\" δηλώνουμε αλλαγή γραμμής

Θέλω να γράψω τώρα τη "δίκλαδη" ακολουθία a_n = \left\{ \begin{array}{c l}n^2, & n = 2k \\ 0 , & n = 2k+1 \end{array} \right.
Αυτό μπορεί να γίνει πάλι με χρήση πινάκων:
Code:
a_n = \left\{
\begin{array}{ c l }
n^2,   &    n = 2k  \\
0,   &    n = 2k + 1
\end{array}
\right.

Εδώ να σημειώσουμε ότι όποτε θέλουμε να εμφανίσουμε μια αγκύλη, θα πρέπει πάντοτε στον κώδικα μας να γράφουμε \{, ώστε να αποφεύγεται η σύγχυση με τις αγκύλες που καθορίζουν ορίσματα. To \right. που γράψαμε στο τέλος είναι απλώς ένα θέμα ορθότητας του κώδικά μας. Με αυτό "κλείνουμε" την αριστερή αγκύλη που ανοίξαμε, χωρίς ωστόσο να εμφανίζεται κάποιος χαρακτήρας από τα δεξιά.

Όπως είπαμε προηγουμένως, η \LaTeX του forum περιορίζεται στη δημιουργία μαθηματικών τύπων και όχι στη συγγραφή κειμένου. Τι συμβαίνει όμως στην περίπτωση που θέλουμε να επισυνάψουμε κείμενο μέσα στους μαθηματικούς μας τύπους; Για παράδειγμα, f(x) = \left\{ \begin{array}{c l} 1, & x  \;\textrm{\gr Ï�ηÏ�Ï�Ï�} \\ 0, & x \;\textrm{\gr άÏ�Ï�ηÏ�οÏ�} \end{array} \right.
Ένας τρόπος να συμβεί αυτό είναι με την εντολή \textrm:
Code:
\textrm{Hello, World!}

\textrm{Hello, World!}
Παρατηρήστε ότι εάν προσπαθήσουμε να γράψουμε απευθείας με ελληνικούς χαρακτήρες θα συναντήσουμε περίεργα αποτελέσματα:
Code:
\textrm{Γειά Χαραντάν!}

\textrm{�ειά Χα�αν�άν!}
Αυτό συμβαίνει επειδή η \LaTeX περιμένει να δηλωθεί ρητώς η γλώσσα που θα χρησιμοποιηθεί. Ας κάνουμε μια μικρή αλλαγή στον κώδικα μας:
Code:
\textrm{\gr Γειά Χαραντάν!}

\textrm{\gr �ειά Χα�αν�άν!}
Χρησιμοποιούμε τις εντολές \en και \gr για να κάνουμε εναλλαγές μεταξύ ελληνικών και αγγλικών χαρακτήρων. Η default γλώσσα είναι τα αγγλικά:
Code:
\textrm{\gr οι χώροι \en Hilbert \gr είναι και χώροι \en Banach}

\textrm{\gr οι ���οι \en Hilbert \gr είναι και ���οι \en Banach}
Μπορούμε επίσης να χρησιμοποιούμε greeklish για να γράφουμε ελληνικά:
Code:
\textrm{\gr Gei'a Qarant'an}

\textrm{\gr Gei'a Qarant'an}

Τι συμβαίνει στην περίπτωση που θέλουμε να χρησιμοποιήσουμε ελληνικούς χαρακτήρες ως μαθηματικά σύμβολα; Η προσέγγιση εδώ διαφέρει κάπως
Code:
Ε = 2 \textrm{\gr π} r     % όχι καλός κώδικας!!


H \LaTeX διαθέτει έτοιμες εντολές για τα γράμματα του ελληνικού αλφαβήτου, ανεξαρτήτως γλώσσας που χρησιμοποιείται:
Code:
\alpha, \beta, \gamma, \delta, \epsilon, \zeta, \eta, \theta, \iota,
\kappa, \lambda, \mu, \nu, \xi, o, \pi, \rho, \sigma, \tau,
\upsilon, \phi ,\varphi, \chi, \psi, \omega

\alpha, \beta, \gamma, \delta, \epsilon, \zeta, \eta, \theta, \iota,
\kappa, \lambda, \mu, \nu, \xi, o, \pi, \rho, \sigma, \tau,
\upsilon, \phi ,\varphi, \chi, \psi, \omega
ενώ για κεφαλαία γράφουμε:
Code:
\Pi, \Omega, \Gamma, \Lambda, \Xi

\Pi, \Omega, \Gamma, \Lambda, \Xi
Επομένως, η σωστή μορφή του προηγουμένου τύπου είναι:
Code:
E = 2 \pi r


Κάπου εδώ τελειώνει αυτή η εισαγωγή στα μαθηματικά της \LaTeX. Σε καμία περίπτωση δε μπορούμε να πούμε ότι τώρα γνωρίζετε να γράφετε σε \LaTeX (ούτε ο γράφων δε μπορεί να το ισχυριστεί αυτό). Ωστόσο ελπίζουμε ότι πλέον κατέχετε τα στοιχειώδη και μπορείτε να συμβάλετε (έστω κατά το ελάχιστο) στις μαθηματικές συζητήσεις του forum. Προπαντώς θα πρέπει να εξασκείστε και να πειραματίζεστε και να μη διστάζετε να κάνετε ερωτήσεις! Για μια πιο πλήρη βιβλιογραφία πάνω στη \LaTeX γενικότερα, σας παραπέμπω στο αντίστοιχο section του mathimatiko.net
Happy \TeX-ing! :mrgreen:

Σάββατο, 19 Νοεμβρίου 2011

θέματα και λύσεις στον διαγωνισμό Θαλής 2011 της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας.

THALIS 2011_12

Παρασκευή, 18 Νοεμβρίου 2011



Εσχατη Λογική
Στα νέα μαθηματικά οικοδομήματα η σκάλα του απείρου υψώνεται... στο άπειρο




Οταν ο Ντέιβιντ Χίλμπερτ κατέβηκε από το βάθρο ύστερα από τη διάλεξή του στο Πανεπιστήμιο της Σορβόννης στις 8 Αυγούστου 1900, ελάχιστοι από τους συνέδρους έδειξαν εντυπωσιασμένοι. Σύμφωνα με μια αναφορά της εποχής, η συζήτηση που ακολούθησε σε εκείνο το δεύτερο Διεθνές Συνέδριο των Μαθηματικών ήταν «μάλλον παρεκβατική». Τα πνεύματα φάνηκε να εξάπτονται περισσότερο από ένα επόμενο θέμα σχετικά με το αν η εσπεράντο έπρεπε να υιοθετηθεί ως γλώσσα εργασίας των μαθηματικών.
Παρ’ όλα αυτά, εκείνη η ομιλία του Χίλμπερτ χάραξε την ατζέντα των μαθηματικών για τον 20ό αιώνα. Αποκρυσταλλώνεται σε έναν κατάλογο 23 κρίσιμων αναπάντητων ερωτημάτων, όπως το πώς πρέπει να τοποθετούνται οι σφαίρες ώστε να επιτευχθεί η καλύτερη εκμετάλλευση του διαθέσιμου χώρου ή το αν η υπόθεση του Ρίμαν σχετικά με την κατανομή των πρώτων αριθμών ισχύει.
Σήμερα πολλά από αυτά τα προβλήματα έχουν λυθεί, όπως αυτό της τοποθέτησης των σφαιρών. Αλλα, όπως αυτό της υπόθεσης του Ρίμαν, έχουν δει ελάχιστη ή και καμία πρόοδο. Το πρώτο θέμα στον κατάλογο του Χίλμπερτ ξεχωρίζει ωστόσο για την αλλόκοτη απάντηση που έδωσαν έκτοτε σε αυτό γενεές ολόκληρες μαθηματικών: ότι τα μαθηματικά απλώς δεν έχουν τα μέσα για να το απαντήσουν.

Η «υπόθεση του συνεχούς»
Ο επίμονα άλυτος γρίφος είναι γνωστός ως «υπόθεση του συνεχούς» και αφορά αυτή την τόσο αινιγματική οντότητα, το άπειρο. Σήμερα, 140 χρόνια μετά τη διατύπωσή του, ένας σεβαστός αμερικανός μαθηματικός πιστεύει ότι τον έλυσε. Επιπλέον υποστηρίζει ότι έφθασε στη λύση χρησιμοποιώντας όχι τα μαθηματικά όπως τα γνωρίζουμε αλλά μια νέα, πολύ πιο ισχυρή λογική κατασκευή την οποία ονομάζει «έσχατο L» (ultimate L).
Η διαδρομή ως αυτό το σημείο ξεκίνησε στις αρχές της δεκαετίας του 1870, όταν ο Γερμανός Γκέοργκ Κάντορ έθετε τα θεμέλια της θεωρίας των συνόλων. Η θεωρία των συνόλων ασχολείται με τη μέτρηση και τον χειρισμό συγκεντρωμένων αντικειμένων και προσφέρει το κρίσιμο λογικό υπόβαθρο των μαθηματικών: επειδή οι αριθμοί μπορούν να συνδεθούν με το μέγεθος των συνόλων, οι κανόνες για τον χειρισμό των συνόλων καθορίζουν επίσης τη λογική της αριθμητικής και ο,τιδήποτε άλλου στηρίζεται σε αυτήν.
Αυτές οι στεγνές, ελαφρώς άνοστες λογικές διατυπώσεις απέκτησαν μια σπιρτάδα όταν ο Κάντορ έθεσε ένα κρίσιμο ερώτημα: Πόσο μεγάλα μπορούν να γίνουν τα σύνολα; Η προφανής απάντηση _ άπειρα μεγάλα _ αποδείχθηκε ότι έκρυβε ένα απρόοπτο: το άπειρο δεν είναι τελικά μια οντότητα αλλά έχει πολλά επίπεδα.

Τα επίπεδα του Απείρου
Πώς γίνεται αυτό; Μπορείτε να πάρετε μια γεύση μετρώντας στη σειρά όλους τους αριθμούς: 1, 2, 3, 4, 5... Ως πού μπορείτε να φθάσετε; Ε, φυσικά ως το άπειρο _ δεν υπάρχει μεγαλύτερος ακέραιος αριθμός. Αυτό είναι ένα είδος απείρου - το κατώτερο, «μετρήσιμο» επίπεδο όπου λαμβάνει χώρα η αριθμητική.
Τώρα σκεφθείτε την ερώτηση «πόσα σημεία υπάρχουν σε μια ευθεία;». Μια ευθεία είναι απόλυτα ίσια και ενιαία, χωρίς τρύπες ή κενά. Περιλαμβάνει άπειρα σημεία. Εδώ όμως δεν πρόκειται για το μετρήσιμο άπειρο των ακέραιων αριθμών, όπου ανεβαίνετε προς τα επάνω σε μια σειρά καθορισμένων, ξεχωριστών βαθμίδων. Εδώ πρόκειται για ένα ενιαίο, συνεχές άπειρο το οποίο περιγράφει γεωμετρικά αντικείμενα. Δεν χαρακτηρίζεται από τους ακέραιους αριθμούς αλλά από τους πραγματικούς: τους ακέραιους συν όλους τους ενδιάμεσους αριθμούς που έχουν όσα δεκαδικά ψηφία θέλετε _ 0,1, 0,01, 0,02, π και ούτω καθ’ εξής.
Ο Κάντορ έδειξε ότι αυτό το «συνεχές» άπειρο είναι απείρως μεγαλύτερο από τη μετρήσιμη εκδοχή του των ακέραιων αριθμών. Επιπλέον αποτελεί απλώς μια βαθμίδα σε μια σκάλα που οδηγεί σε όλο και υψηλότερα επίπεδα απείρων τα οποία υψώνονται ως, ναι, το άπειρο.

Υπάρχει απειροστικός «ημιόροφος»;
Ενώ η ακριβής δομή αυτών των ανώτερων απείρων παρέμενε νεφελώδης, ένα πιο άμεσο ερώτημα βασάνιζε τον Κάντορ. Υπήρχε ενδιάμεσο επίπεδο ανάμεσα στο μετρήσιμο άπειρο και στο συνεχές; Υποπτευόταν ότι όχι, αλλά δεν μπορούσε να το αποδείξει. Το προαίσθημά του για την ανυπαρξία αυτού του μαθηματικού ημιωρόφου έγινε γνωστό ως «η υπόθεση του συνεχούς».
Οι προσπάθειες να αποδειχθεί ή να καταρριφθεί η υπόθεση του συνεχούς βασίζονται στην ανάλυση όλων των δυνατών απείρων υποσυνόλων των πραγματικών αριθμών. Αν το καθένα είναι είτε μετρήσιμο είτε έχει το ίδιο μέγεθος με το πλήρες συνεχές, τότε η υπόθεση ισχύει. Αντιστρόφως, έστω και ένα υποσύνολο ενδιάμεσου μεγέθους μπορεί να την καταρρίψει.
Μια τέτοια τεχνική που χρησιμοποιεί υποσύνολα των ακέραιων αριθμών δείχνει ότι δεν υπάρχει επίπεδο απείρου κάτω από το μετρήσιμο. Οσο δελεαστικό και αν είναι να θεωρήσει κανείς ότι οι υπάρχοντες μονοί αριθμοί είναι οι μισοί από το σύνολο των ακεραίων, τα δύο σύνολα μπορούν να αντιστοιχιστούν ακριβώς. Στην πραγματικότητα, κάθε σύνολο ακέραιων αριθμών είναι είτε πεπερασμένο είτε μετρήσιμα άπειρο.
Αν εφαρμοστεί στους πραγματικούς αριθμούς ωστόσο αυτή η προσέγγιση αποδίδει ελάχιστα, για λόγους που σύντομα γίνονται προφανείς. Το 1885 ο σουηδός μαθηματικός Γκέστα Μίταγκ-Λέφλερ είχε εμποδίσει τη δημοσίευση μιας από τις εργασίες του Κάντορ υποστηρίζοντας ότι ήταν «100 χρόνια πριν από την εποχή». Οπως έδειξε ο βρετανός μαθηματικός και φιλόσοφος Μπέρτραντ Ράσελ το 1901, ο Κάντορ είχε πράγματι βιαστεί. Αν και τα συμπεράσματά του για το άπειρο ήταν σωστά, η λογική βάση της θεωρίας των συνόλων του έπασχε, βασιζόμενη σε μια άτυπη και τελικά παράδοξη αντίληψη του τι είναι τα σύνολα.
Μόνο το 1922 δύο γερμανοί μαθηματικοί, ο Ερνστ Τσερμέλο και ο Αμπραχαμ Φρένκελ, εξήγαγαν μια σειρά κανόνων για τον χειρισμό των συνόλων οι οποίοι φαίνονταν αρκετά σθεναροί ώστε να στηρίξουν τον πύργο των απείρων του Κάντορ και να σταθεροποιήσουν τα θεμέλια των μαθηματικών. Δυστυχώς όμως οι κανόνες αυτοί δεν έδιναν ξεκάθαρη απάντηση στην υπόθεση του συνεχούς. Στην πραγματικότητα, φαινόταν μάλιστα να υποδηλώνουν ότι ίσως να μην υπήρχε καν απάντηση.
Το βασικό εμπόδιο ήταν ένας κανόνας γνωστός ως «το αξίωμα της επιλογής». Δεν ανήκε στους αρχικούς κανόνες του Τσερμέλο και του Φρένκελ, αλλά ανέκυψε σύντομα όταν κατέστη σαφές ότι ορισμένες ουσιώδεις μαθηματικές διεργασίες, όπως η ικανότητα σύγκρισης διαφορετικών μεγεθών απείρου, θα ήταν αδύνατες χωρίς αυτόν.
Το αξίωμα της επιλογής πρεσβεύει ότι αν έχετε μια σειρά συνόλων μπορείτε πάντα να σχηματίσετε ένα νέο σύνολο επιλέγοντας ένα αντικείμενο από το καθένα από αυτά. Αυτό ακούγεται ανώδυνο, εμπεριέχει όμως ένα «αγκάθι»: προσφέρει τη δυνατότητα να επινοήσετε κάποια παράδοξα αρχικά σύνολα τα οποία παράγουν ακόμη πιο παράδοξα σύνολα όταν επιλέγετε ένα στοιχείο από το καθένα. Οι πολωνοί μαθηματικοί Στέφαν Μπάναχ και Αλφρεντ Τάρσκι έδειξαν πώς το αξίωμα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί για να διαιρέσει το σύνολο των σημείων που καθορίζουν μια σφαιρική μπάλα σε έξι υποσύνολα τα οποία στη συνέχεια μπορούσαν να παραγάγουν δύο μπάλες του ίδιου μεγέθους με την αρχική. Αυτό αποτελούσε σύμπτωμα ενός θεμελιώδους προβλήματος: το αξίωμα επέτρεπε την ύπαρξη δύστροπων συνόλων πραγματικών αριθμών των οποίων οι ιδιότητες δεν μπορούσαν ποτέ να καθοριστούν. Υπό αυτές τις συνθήκες, η προοπτική για την απόδειξη της υπόθεσης του συνεχούς φαινόταν δυσοίωνη.

Το «L» του Γκέντελ
Η ανακάλυψη αυτή έφθασε σε μια στιγμή κατά την οποία η έννοια του «αναπόδεικτου» είχε μόλις αρχίσει να γίνεται της μόδας. Το 1931 ο αυστριακός επιστήμονας της Λογικής Κουρτ Γκέντελ διατύπωσε το περίφημο «θεώρημα της μη πληρότητας». Αυτό δείχνει ότι ακόμη και με τους πιο «σφιχτούς» βασικούς κανόνες θα υπάρχουν πάντα διατυπώσεις συνόλων αριθμών που τα μαθηματικά δεν θα μπορούν ούτε να επαληθεύσουν ούτε να καταρρίψουν.
Ταυτοχρόνως όμως ο Γκέντελ είχε ένα φαινομενικά τρελό προαίσθημα σχετικά με το πώς μπορούν να γεμίσουν τα περισσότερα από αυτά τα κενά: χτίζοντας απλώς πολλά επίπεδα απείρου. Αυτό αντιβαίνει σε οποιονδήποτε λογικό οικοδομικό κανονισμό, αλλά η υπόθεση του Γκέντελ αποδείχθηκε εμπνευσμένη. Το απέδειξε το 1938. Ξεκινώντας από μια απλή σύλληψη συνόλων συμβατών με τους κανόνες του Τσερμέλο και του Φρένκελ και στη συνέχεια σχεδιάζοντας προσεκτικά την υπερδομή του απείρου του, δημιούργησε ένα μαθηματικό περιβάλλον στο οποίο τόσο το αξίωμα της επιλογής όσο και η υπόθεση του συνεχούς ισχύουν ταυτόχρονα. Ονόμασε τον νέο κόσμο του «κατασκευάσιμο σύμπαν» ή απλώς «L».
Το L είναι ένα γοητευτικό περιβάλλον για τα μαθηματικά, σύντομα όμως εμφανίστηκαν λόγοι για τους οποίους θα μπορούσε να αμφιβάλλει κανείς ως προς το αν ήταν το «σωστό» περιβάλλον. Κατ’ αρχάς η σκάλα του απείρου του δεν ανέβαινε αρκετά ψηλά ώστε να γεμίσει όλα τα κενά που είναι γνωστό ότι υπάρχουν στην υποκείμενη δομή. Το 1963 ο Πολ Κοέν του Πανεπιστημίου Στάνφορντ στην Καλιφόρνια έδωσε μια προοπτική αναπτύσσοντας μια μέθοδο για την παραγωγή μιας πληθώρας κατά παραγγελία μαθηματικών συμπάντων που όλα τους ήταν συμβατά με τους κανόνες του Τσερμέλο και του Φρένκελ.

Μαθηματική αρχιτεκτονική
Αυτή ήταν η αρχή ενός οργασμού κατασκευαστικής δραστηριότητας. «Τον τελευταίο μισό αιώνα οι θεωρητικοί των συνόλων έχουν ανακαλύψει μια τεράστια ποικιλία μοντέλων της θεωρίας των συνόλων» λέει ο Τζόελ Χάμκινς του Πανεπιστημίου City της Νέας Υόρκης. Ορισμένα είναι «κόσμοι τύπου L» με υπερδομές σαν το L του Γκέντελ, διαφέροντας μόνο στο εύρος των έξτρα επιπέδων απείρου που περιλαμβάνουν. Αλλα έχουν εξαιρετικά ετερόκλητα αρχιτεκτονικά στυλ με εντελώς διαφορετικά επίπεδα και σκάλες απείρου που οδηγούν προς κάθε είδους κατεύθυνση.
Για τις περισσότερες λειτουργίες η ζωή μέσα σε αυτές τις δομές είναι η ίδια: στο μεγαλύτερο μέρος τους τα καθημερινά μαθηματικά δεν διαφέρουν μέσα στην καθεμιά τους ούτε και οι νόμοι της φυσικής. Η ύπαρξη όμως αυτού του μαθηματικού «πολυσύμπαντος» φαινόταν να διαλύει κάθε ιδέα επίλυσης της υπόθεσης του συνεχούς. Οπως κατόρθωσε να δείξει ο Κοέν, σε ορισμένους λογικά δυνατούς κόσμους η υπόθεση ισχύει και δεν υπάρχει ενδιάμεσο επίπεδο απείρου μεταξύ του μετρήσιμου και του συνεχούς. Σε άλλους το ενδιάμεσο επίπεδο υπάρχει. Σε κάποιους άλλους υπάρχουν άπειρα. Με τη μαθηματική λογική όπως τη γνωρίζουμε απλώς δεν υπάρχει τρόπος να βρούμε σε ποιο είδος κόσμου βρισκόμαστε.

Η λύση στο... ρετιρέ
Ο Χιου Γούντιν του Πανεπιστημίου της Καλιφόρνιας στο Μπέρκλεϊ έχει μια πρόταση σε αυτό. Η απάντηση, λέει, μπορεί να βρεθεί βγαίνοντας έξω από τον συμβατικό μαθηματικό κόσμο και περνώντας σε ένα ανώτερο επίπεδο.
Ο Γούντιν είναι ένας εξαιρετικά σεβαστός θεωρητικός των συνόλων και έχει ήδη αποσπάσει την ύψιστη τιμή στο αντικείμενό του: ένα επίπεδο στην κλίμακα του απείρου με το όνομά του. Το επίπεδο αυτό, το οποίο βρίσκεται πολύ ψηλότερα από οτιδήποτε υπήρχε στο L του Γκέντελ, κατοικείται από γιγαντιαίες οντότητες οι οποίες είναι γνωστές ως απόλυτοι του Γούντιν.
Οι απόλυτοι του Γούντιν απεικονίζουν πώς η πρόσθεση ρετιρέ στο οικοδόμημα των μαθηματικών μπορεί να λύσει προβλήματα σε λιγότερο «αραιά» κατώτερα επίπεδα. Το 1988 οι αμερικανοί μαθηματικοί Ντόναλντ Μάρτιν και Τζον Στιλ έδειξαν ότι, αν οι απόλυτοι του Γούντιν υπάρχουν, τότε όλα τα προβαλλόμενα σύνολα των πραγματικών αριθμών έχουν ένα μετρήσιμο μέγεθος. Σχεδόν όλα τα συνηθισμένα γεωμετρικά αντικείμενα μπορούν να περιγραφούν υπό τους όρους αυτού του συγκεκριμένου είδους συνόλου, οπότε αυτή ήταν ακριβώς η δικλίδα που χρειαζόταν για την προστασία των συμβατικών μαθηματικών απέναντι σε δυσάρεστες εκπλήξεις όπως η μπάλα του Μπάναχ και του Τάρσκι.
Ωστόσο, παρά τις επιτυχίες αυτές, ο Γούντιν παρέμενε ανικανοποίητος. «Τι νόημα έχει μια αντίληψη του σύμπαντος των συνόλων στην οποία υπάρχουν πολύ μεγάλα σύνολα αν δεν μπορούμε να εξαγάγουμε βασικές ιδιότητες των μικρών συνόλων;» αναρωτιέται. Ακόμη και 90 χρόνια αφότου ο Τσερμέλο και ο Φρένκελ υποτίθεται ότι διόρθωσαν τα θεμέλια των μαθηματικών, οι ρωγμές ήταν πολλές. «Η θεωρία των συνόλων είναι γεμάτη άλυτα ζητήματα. Σχεδόν όποιο ερώτημα και να θέσεις είναι άλυτο» λέει. Ακριβώς στην καρδιά αυτού του προβλήματος βρίσκεται η υπόθεση του συνεχούς.

Το υπερσύμπαν του «έσχατου L»
Ο Γούντιν και οι συνεργάτες του εντόπισαν τον «σπόρο» σε μια νέα, πιο ριζοσπαστική προσέγγιση ενώ διερευνούσαν συγκεκριμένα πρότυπα πραγματικών αριθμών τα οποία εμφανίζονται σε διάφορους κόσμους τύπου L. Τα πρότυπα, γνωστά ως καθολικά σύνολα Baire, άλλαζαν ελαφρώς τη γεωμετρία του κάθε κόσμου και φαινόταν ότι λειτουργούν σαν ένα είδος κώδικα ταυτότητάς του. Οσο περισσότερο τα κοίταζε ο Γούντιν τόσο περισσότερο έβλεπε ότι υπήρχαν σχέσεις ανάμεσα στα πρότυπα φαινομενικά διαφορετικών κόσμων. Συνδυάζοντας τα πρότυπα αυτά μεταξύ τους, τα όρια ανάμεσα στους κόσμους σιγά σιγά εξαφανίζονταν και άρχιζε να διαφαίνεται ο χάρτης ενός ενιαίου μαθηματικού υπερσύμπαντος. Προς τιμήν της αρχικής έμπνευσης του Γκέντελ ο Γούντιν ονόμασε αυτή τη γιγαντιαία λογική δομή «έσχατο L».
Μεταξύ άλλων το έσχατο L προσφέρει για πρώτη φορά έναν οριστικό απολογισμό του φάσματος των υποσυνόλων των πραγματικών αριθμών: σε κάθε «σταυροδρόμι» ανάμεσα σε διαφορετικούς κόσμους που ανοίγουν οι μέθοδοι του Κοέν μόνο μια πιθανή οδός είναι συμβατή με τον χάρτη του Γούντιν. Ιδιαίτερα υποδηλώνει ότι η υπόθεση του Κάντορ ισχύει αποκλείοντας οτιδήποτε ανάμεσα στο μετρήσιμο άπειρο και στο συνεχές. Αυτό σημαίνει όχι μόνο το τέλος μιας σπαζοκεφαλιάς 140 ετών αλλά και μια προσωπική μεταστροφή για τον Γούντιν: πριν από δέκα χρόνια υποστήριζε ότι η υπόθεση του συνεχούς πρέπει να θεωρηθεί λανθασμένη.
Το έσχατο L δεν σταματάει εδώ. Ο μεγάλος, ευρύχωρος χώρος του επιτρέπει την πρόσθεση επιπλέον βαθμίδων στην κορυφή της κλίμακας του απείρου με τρόπο ώστε να γεμίσουν τα κενά που υπάρχουν πιο κάτω, επαληθεύοντας το προαίσθημα του Γκέντελ για την επίλυση του προβλήματος του αναπόδεικτου που ταλάνιζε τα μαθηματικά. Το θεώρημα της μη πληρότητας του Γκέντελ δεν καταργείται, αλλά μπορεί να το «σπρώξει» κανείς όσο ψηλά θέλει στη σκάλα, οδηγώντας το στη σοφίτα του απείρου των μαθηματικών.
Η προοπτική της απαλλαγής από τη λογική μη πληρότητα που βάραινε ακόμη και βασικούς τομείς όπως η θεωρία των αριθμών έχει ενθουσιάσει πολλούς μαθηματικούς. Απομένει μόνο ένα ζήτημα: Ισχύει το έσχατο L;
Το 2010 ο Γούντιν παρουσίασε τις ιδέες του στο ίδιο φόρουμ στο οποίο είχε μιλήσει ο Χίλμπερτ περισσότερο από έναν αιώνα πριν, στο Διεθνές Συνέδριο των Μαθηματικών, τη φορά αυτή στο Ιντεραμπάντ της Ινδίας. Ο Χίλμπερτ είχε υπερασπιστεί κάποτε τη θεωρία των συνόλων με την περίφημη φράση «κανένας δεν θα μας αποπέμψει από τον παράδεισο που δημιούργησε ο Κάντορ». Σε αυτόν τον παράδεισο όμως προχωρούσαμε στα τυφλά χωρίς να ξέρουμε ακριβώς πού βρισκόμαστε. Ισως τώρα να έχουμε επιτέλους έναν οδηγό, ο οποίος ενδεχομένως μπορεί να μας οδηγήσει σε αυτόν τον αιώνα και ακόμη πιο πέρα.
TO BHMA, New Scientist

Πέμπτη, 17 Νοεμβρίου 2011

Αναζητείται γενικός τίτλος για το 29ο Συνέδριο της ΕΜΕ στην Καλαμάτα.

Σύμφωνα με απόφαση του ΔΣ της ΕΜΕ, ο τίτλος του 29ου Συνεδρίου της ΕΜΕ στην Καλαμάτα, θα προκύψει αυτή την φορά από εισήγηση των τοπικών Παραρτημάτων και τελική απόφαση του ΔΣ και όχι από κεντρική απόφαση. Πρόκειται για θετική εξέλιξη η οποία μάλλον θα παγιωθεί από δω και πέρα.  
Αλλά ποία μπορεί να είναι τα κριτήρια για τον γενικό τίτλο ενός Συνεδρίου της ΕΜΕ; Είναι κάτι κεντρικό; Είναι κάτι τόσο σοβαρό; Είναι φλέγον; 
Η προσωπική αυστηρά προσωπική γνώμη του υπογράφοντος (που δεν αφορά την γνώμη του Παραρτήματος Μεσσηνίας και άρα δεν δεσμεύει κανένα πλην του εαυτού του) είναι ότι γενικώς, υπάρχει ένα κλίμα -οιονεί συνιστώσες- του τύπου «καθαρά Μαθηματικά» ,«εφαρμοσμένα Μαθηματικά» «διδακτική των Μαθηματικών» «Ιστορία των Μαθηματικών» «φιλοσοφία των Μαθηματικών» ακόμα και «ψυχολογία των Μαθηματικών» Όλες αυτές οι συνιστώσες έχουν περισσότερους ή λιγότερους εκπροσώπους μέσα στην ΕΜΕ. Επίσης η συντριπτική πλειονότητα των μαθηματικών που απαρτίζουν την ΕΜΕ, απασχολείται γενικά στην μέση εκπαίδευση. Είναι απολύτως φυσιολογικό και υγιές , ο κάθε εκπρόσωπος να προσπαθεί να πηγαίνει τα νερά της Εταιρείας, εκεί που αισθάνεται περισσότερο άνετα. Αυτό είναι ό,τι πιο φυσικό μπορεί να συμβαίνει. Όταν όμως καλείσαι να βρεις έναν τίτλο για ένα ετήσιο Πανελλήνιο Συνέδριο Ελλήνων Μαθηματικών, αυτός θα πρέπει να είναι μια ομπρέλα ή -καλύτερα- μια αγκαλιά που να αγκαλιάζει όλους και όλα χωρίς να πλατιάζει το νόημά του. Γνωρίζουμε, ότι το πλάτος και το βάθος μιας έννοιας έχουν αντιστρόφως ανάλογη σχέση. Δεν θέλουμε υπερβολικά εξειδικευμένο τίτλο, ούτε πλατιασμένο. Θέλουμε τίτλο, που να μπορούν να αντιπροσωπευτούν όλοι, η Εταιρεία, το καταστατικό της, οι άνθρωποι, τα ίδια τα Μαθηματικά, το νόημά τους, η αλήθεια τους , η σκοπιμότητά τους, η παγκοσμιότητά τους, αλλά και η Ελληνικότητά τους, η διαχρονία τους, αλλά και η επικαιρότητά τους, τα θέλουμε ΟΛΑ!
Δεν είναι εύκολο να είσαι υπεύθυνος νονός ενός τέτοιου τίτλου! Το ξέρει αυτό η Εταιρεία και γι αυτό ζητά την συνδρομή όλων της των μελών. Ας πούμε:
Μπορούν τα Μαθηματικά και η Μαθηματική Παιδεία γενικότερα να μας βγάλουν από την πρωτοφανή κρίση που πλέον δεν είναι μόνο Ελληνική;; Αυτό -περίπου- μπορεί να είναι τίτλος ή υποπίπτει στο σφάλμα της επικαιρότητος και παραβλέπει την διαχρονία (και την αχρονικότητα;) των Μαθηματικών; Όλα είναι υπό συζήτηση, όλα υπόκεινται σε επιχειρηματολογία υπέρ και σε αντεπιχειρηματολογία. Μπορούν τα Μαθηματικά να σώσουν τον κόσμο; Τα βλέπουμε ως εργαλείο που πρέπει να χρησιμοποιεί κάθε Επιστήμη αν πραγματικά θέλει να λέγεται και να είναι όντως επιστήμη; Έχουν αυταξία και ιδιαίτερη πολιτισμική διάσταση; Μήπως η Μαθηματική εκπαίδευση συμβάλλει στην Ανθρωπιστική Παιδεία και όχι μόνο στην Τεχνική Επιστημονική, όπως έχουμε συνηθίσει να την βλέπουμε; 
Τί το νέο έρχεται στην Ελλάδα μαζί με τα Μαθηματικά; Τι περιμένουμε; Την ένταξη των νέων Τεχνολογιών στην διδασκαλία τους (πολύ θολό το τοπίο λόγω της σύνδεσης του Λυκείου με την ΚΕΓΕ κα ιόλες τις παρενέργειες που μας βασανίζουν σε Ελληνικό επίπεδο δεκαετίες αρκετές) 
Πώς βλέπουμε τα Μαθηματικά στην εποχή της κρίσης; (Ξανακάνω το αμάρτημα της επικαιρότητας)
Πώς βλέπουν τα Μαθηματικά τα νέα Αναλυτικά Προγράμματα σπουδών; (Δεν έχουν δοκιμαστεί ακόμα πάλι σε επίπεδο προθέσεων θα κριθούν, υπάρχει και η ΚΕΓΕ που ακυρώνει σχεδόν όλες τις καλές προσπάθειες αλλαγής)
Στα παραπάνω πλαίσιο (αλλά και εκτός πλαισίου) ζητείται τίτλος. Να μπούμε σε διαδικασία σκέψης. Ένας τίτλος που θα εμπνεύσει στην συγγραφή εργασιών, που θα είναι χρήσιμς, που θα είναι χρηστικές, που θα έχουν αξία καθημερινή (αλλά και γιατί όχι γενική συνεχή;) ένα τίτλος δέλεαρ, αλλά όχι και  «εύκολη λύση» ένας τίτλος που θα ακουμπά την Κοινωνία, τους Μαθηματικούς, τα Μαθηματικά, την διδασκαλία τους, την προβληματική τους, την σοφία τους , τον σκοπό τους, την ουσία τους.......
Ζητείται τίτλος λοιπόν!
(Μπορείτε ΕΔΩ να βάλετε ως σχόλιο, όποιον τίτλο θέλετε!)

Γιάννης Πλατάρος

Τοπική Επιτροπή εξετάσεων για διαγωνισμό «ΘΑΛΗΣ» 2011

ΘΑΛΗΣ 2011

Κυριακή, 13 Νοεμβρίου 2011

Το κεντρικό θέμα του 29ου Συνεδρίου της ΕΜΕ στην Καλαμάτα θα προκύψει με εισηγήσεις των Παραρτημάτων.

Σύμφωνα με δέσμευση -απόφαση του Δ.Σ. που ανεκοίνωσε ο Πρόεδρος του Δ.Σ. κ. Γρηγόρης Καλογερόπουλος, η διαμόρφωση του τίτλου του θέματος του 29ου Συνεδρίου της Καλαμάτας, θα γίνει και με εισηγήσεις των τοπικών παραρτημάτων, ενώ την τελική απόφαση θα πάρει το ΔΣ της ΕΜΕ. 
Η πρόταση του Δ.Σ. Προέδρου, έγινε ευμενώς αποδεκτή από τους εκπροσώπους τωντοπικών παραρτημάτων και είμαστε εν αναμονή προτάσεων και αποφάσεων.

Πέτυχε απολύτως το 28 Συνέδριο της ΕΜΕ στην Αθήμα. Το 29ο Στην Καλαμάτα!

Σύμφωνα και με την δική μας προσωπική αντίληψη σημαντική ήταν η επιτυχία του 28ου Συνεδρίου Μαθηματικής Παιδείας στην Αθήνα. Θέμα του ήταν η Μαθηματική μοντελοποίηση και  σύμφωνα και με τα μέλη της Επιστημονικής Επιτροπής, σημαντικές ήταν και οι εργασίες που παρουσιάστηκαν. Κανονικά κάποιος, θα έπρεπε να αναμένει μια πτώση του αριθμού των εργασίων που θα υποβάλλονταν, αν λάβαινε υπ΄όψιν του την αναμενόμενη πτώση ενδιαφέροντος ως προς την δημιουργία εργασίων από τις κρίσεις στελεχών της εκπαίδευσης που έγιναν το καλοκαίρι ή και τώρα (Σχολικοί Σύμβουλοι) Αν μάλιστα λάβουμε υπ΄όψιν μας ότι διεξάγονται και αρκετά Συνέδρια παρεμφερών κλάδων Πανελληνίως, η ενίσχυση του ενδιαφέροντος υποβολής εργασιών στο Πανελλήνιο ετήσιο Συνέδριο της ΕΜΕ, ήταν κάτι παραπάνω από ενθαρρυντική. Ο Πρόεδρος της ΕΜΕ κ. Γρηγόρης Καλογερόπουλος και Πρόεδρος του Μαθηματικού Τμήματος της Αθήνας του ΕΚΠΑ όπου στους χώρους του οποίου διεξήχθη το 28 Συνέδριο, κλείνοντας τις εργασίες του συνεδρίου, αναφέρθηκε και σε αριθμό ρεκόρ συμμετοχής φοιτητών σε Συνέδριο της ΕΜΕ.
Εξαιρετικά πετυχημένο το 28ο Συνέδριο της ΕΜΕ
Το 28ο Στην Καλαμάτα!
Μας το ανέθεσαν και το ενέκριναν και τα άλλα Παραρτήματα της Ελλάδος. (Είχα γράψει ένα μακρύ πολύ καλό κείμενο που χάθηκε από τον δαίμονα του Η/Υ. Να δώ τι ανάκτηση θα του κάνω.)
Συγκινητική ήταν η συμπαράσταση και των Προέδρων των άλλων παραρτημάτων (Ευβοίας, Ημαθίας, Τρικάλων , Αχαϊας, κ.ά. ) επίσης των ομόρων νομών. Λακωνίας, Ηλίας και Αρκαδίας. Δεν θα κρύψω ότι συγκινήθηκα από την αμέριστη συμπαράστασή τους και της παροχής τεχνογνωσίας τους για να πετύχει και το 29ο κόντρα στην όποια κρίση και στην όποια επιδείνωσή της. Τα συνέδρια της ΕΜΕ, πλέον αποτελούν θεσμό, έθιμο, με οπαδούς. Δεν ξέρω πώς ακούγεται αυτή η εκτίμηση, αλλά έχω δει επί πολλά χρόνια φανατικούς συναδέλφους που τιμούν με την παρουσία τους το συνέδριο ΑΝΕΛΛΙΠΩΣ!  Κάθε νοέμβριο δίνουν ραντεβού σε ένα σημείο της Ελλάδος, μετέχουν ενεργά στο συνέδριο, στα στρογγυλά τραπέζια, παρεμβαίνουν, επισημαίνουν , θέτουν προβληματισμούς. Πολύ υγιή στοιχεία, υγιείς σκεπτόμενοι άνθρωποι. Το επιστημονικό Σωματείο , το ιστορικό, το αρχαίο, ενώνει μέλη , που μετέχουν στο κοινό εξικνούμενα από το κινούν αίτιον, τον έρωτα για τα Μαθηματικά και την αποκάλυψη των Μυστικών του Σύμπαντος, των κοιταγμάτων του θείου (θεωρημάτων) τις διαχρονικές αλήθειες.
Γι΄αυτό θα είμαστε όλοι τον Νοέμβριο του 2012 στην Καλαμάτα,  οικεία πρόσωπα του οικείου έρωτος...

Δευτέρα, 7 Νοεμβρίου 2011

Πρόσκληση Μαθηματικών Μεσσηνίας για το 29ο Πανελλήνιο Συνέδριο της ΕΜΕ στην Καλαμάτα.

Προσκαλούνται και παρακαλούνται  πολύ, όλοι οι Μαθηματικοί,  να μαζευτούμε την Τετάρτη  9 Νοεμβρίου στις 8.30 μ.μ. στο 
Μαρίνα Yauchting Skippers  να συζητήσουμε για το 29ο Συνέδριο της Καλαμάτας για τον Νοέμβριο του 2012.
Να μεταφέρω το πόσοι είμαστε, πόσοι θα βοηθήσουμε και που.
Πρέπει να το κάνουμε οπωσδήποτε, είναι ευκαιρία  να αναστηθεί και οικονομικά το παράρτημα,ώστε να μπορεί να κάνει τα αυτονόητα που τώρα δεν μπορεί,   να κινηθεί η τοπική αγορά 3 μέρες και να κάνουμε κάτι που σίγουρα έχει ΙΣΤΟΡΙΚΗ διάσταση και αναφορά για την πόλη και τον νομό.


-Ο-
Πρόεδρος του Παραρτήματος
Γιάννης Π. Πλατάρος
Φορητό: 6947187139
Υ.Γ. Παρακαλώ θερμά, να ειδοποιηθούν ΟΛΟΙ οι μαθηματικοί. Δεν έχουμε μέηλ για όλους ή τηλέφωνα. Παρακαλούμε, να ειδοποιηθούν Μαθηματικοί της Δημόσιας Εκπαίδευσης της Ιδιωτικής, των Φροντιστηρίων εν ενεργεία και μη. ΟΛΟΙ! Ο κάθε ένας συνάδελφος, ας κάνει δύο τηλέφωνα ή ας στείλει  2-3 sms . Είναι πολύ σημαντική αυτή η συνάντηση και κρίσιμη, ώστε όχι μόνο να πάρουμε το ναι για την διοργάνωση, αλλά να κάνουμε την πρώτη ουσιαστική αρχή υλοποίησής του.

Πέμπτη, 3 Νοεμβρίου 2011

Πρόγραμμα 28ου Συνεδρίου ΕΜΕ στην Αθήνα 11, 12 και 13 Νοεμβρίου 2011

Program 28o EME

Τετάρτη, 2 Νοεμβρίου 2011

Έγκαιρη η ανταπόκριση της ΔΔΕ Μεσσηνίας στα διαδικαστικά του 28ου Συνεδρίου της ΕΜΕ.- Ποίοι μετακινούνται.

Εμπροθέσμως και εγκραίρως έχει ανταποκριθεί η ΔΔΕ Μεσσηνίας στα διαδικαστικά του 28ου Συνεδρίου της ΕΜΕ στην Αθήνα 11,12 και 13 Νοεμβρίου 2011. (Πανεπιστημιούπολη, Φυσικομαθηματική Σχολή, - Μαθηματικό Τμήμα Ιλίσια -Ζωγράφου) Το σχετικό έγγραφο της ΔΔΕ Μεσσηνίας, ήδη μας κοινοποιήθηκε πριν λίγο, όπου εμφαίνεται και η πλήρης πρόταση για τους συμμετέχοντες, ώστε να εκδοθεί από το Υπουργείο η διαταγή μετακίνησης όσων είχαν αιτηθεί την μετακίνηση. 28o Συνέδριο ΕΜΕ αθήνας Μεσσηνία.